Sohn von Philipp Erwein von Sch. (1607-1668) und dessen Ehefrau Maria Ursula, geb. von Greiffenclau zu Vollraths (1612-1682). Neffe des Mainzer Kurfürsten Johann Philipp von Sch. (1605-1673). Bruder des Ffter kaiserlichen Kommissars
Melchior Friedrich von Sch. und des Mainzer Kurfürsten Lothar Franz von Sch. (1655-1729).
Domizellar (d. i. Anwärter für ein Kanonikat) in Mainz (1647), Würzburg (1648) und Bamberg (1649). Von 1654 bis 1656 Studium in Paris. Seit 1661 Kanoniker in St. Alban und St. Viktor vor Mainz. Am 23.2.1663 Wahl zum Propst des Bartholomäusstifts in Ffm. Seit Mai 1663 auch Domkustos in Mainz, später noch Domkantor in Würzburg, Kämmerer des weltlichen Gerichts in Mainz und Mainzer Prinzipalgesandter beim Reichstag in Regensburg. Infolge seiner Ämterhäufung kümmerte sich Sch. wenig um Ffter Verhältnisse. Sein Onkel, Kurfürst Johann Philipp, wollte ihn zu seinem Nachfolger in Mainz und Würzburg machen, doch Sch. starb bereits 1674 im Alter von 35 Jahren. Seine Grabplatte befindet sich im Mainzer Domkreuzgang. Franz Georgs früher Tod brachte für den Einfluss und weiteren Aufstieg der Familie von Sch. einen herben Rückschlag mit sich.
Mit Franz Georg von Sch. begann auch in Ffm. die Schönbornzeit: Ein ganzes Jahrhundert lang standen seitdem die Familie von Sch. oder mit ihr eng verbundene Familien an der Spitze des Bartholomäusstifts. Franz Georg von Sch. folgten in der Propstei der mit dessen Nichte Maria Anna, verh. von Stadion (1669-1703), verschwägerte Christoph Rudolf von Stadion (1638-1700; im Amt als Propst 1674-1700), dann Franz Georgs Neffe
Johann Philipp Franz von Schönborn (1673-1724; im Amt als Propst 1700-24) und zuletzt dessen Neffe Johann Friedrich Karl von Ostein (1689-1763; im Amt als Propst 1724-63), Sohn von
Johann Philipp Franz’ Schwester
Anna Charlotte Maria, verh. von Ostein (1671-1746), der zugleich seit 1743 Erzbischof und Kurfürst von Mainz war. Das Bartholomäusstift wurde dadurch ein „schönborn-osteinisches Familienunternehmen“ (Rauch: Pröpste, Propstei u. Stift von St. Bartholomäus 1975, S. 195; vgl. auch S. 190, 193, 197).
Schönborner Hof in der Töngesgasse seit 1661 im Besitz der Familie (nach Abriss und Kriegsschäden nur Westflügel und Treppenturm erhalten).
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